3つの箱 〜確率に関する難問〜

 わたしがあなたにA、B、Cとラベルが貼られた3つの箱をお見せしたとします。それらの1つ には賞品が入っており、ほかの2つは空です。どの箱に賞品が入っているか私は知っています があなたは知りません。あなたがでたらめに箱を1つ、たとえば箱Aを選んだとします。しかし、 あなたが箱を開ける前に、残った二つの箱のうち、私が空だと知っている箱、たとえば箱Bを 開け、それが空であることをあなたにお見せします。ここであなたは、箱Aの中身をとるか、 箱Aと箱Cを交換するか、どちらかを選ぶことができます。さて、交換した方が有利でしょうか? それとも、交換してもしなくても変わらない?答えを見る前にじっくり考えてください。
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解答

 交換した方が有利である

 箱を交換しても確率は変わらないと思われるかもしれません。1つ箱を開けたあとは、2つの 箱が残っているので、それぞれ当たりが入っている確率は2分の1で同じ!?それで正しい ような気がするのですが実は違うのです!

 まず、あなたが当たりの箱を選ぶ確率は3分の1です。どの箱が当たりか知っている私は常に 空の箱を開けることができます。ですが、その情報があっても、あなたが選んだ箱が当たりで ある確率は、相変わらず3分の1のままです。したがって残った箱が当たりの確率は3分の2 になります。意味がわかるでしょうか?

 違う言い方をすると、このゲームを何回も繰り返すとして、箱をまったく交換しなかった場合 賞品を手に入れる確率は3分の1でしょう?となると箱を常に交換した場合の確率は3分の2 になりますね。これは実際に実験することによって検証することもできます。

 まだ理解できない人のために箱が10個ある場合を考えてみましょう!あなたがまず箱を1個 選び、どの箱に賞品が入っているか知っている私が箱を8個開け、中身が空であることをあな たに見せました。さて、最初にあなたが選んだ箱と最後に残った箱を交換することが選べるの なら、あなたはどちらを選びますか?……これ以上は頭が痛いので自分で考えてください(笑)。
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